Question

如圖，給出下面六個判斷：
①AB是⊙O的直徑；②AC是⊙O′的直徑；③⊙O′交AB于點E，弦AD=AE；④點P在AB的延長線上，PD切⊙O于C；⑤AC•PE=BC•PD；⑥PD•PB=PA•PC
（1）請將這6個結(jié)論中的3個作為題設(shè)，2個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并證明．
（2）若PD=4，PE=3，求PA：PB的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）①②④作為題設(shè)，③⑤作為結(jié)論，連接CE，OC，證明∠ACD=∠ACE，即可得出③，然后利用相似三角形的性質(zhì)及等比例代換可得出⑤；
（2）根據(jù)（1）的思路，分別確定

PA

PC

及

PB

PC

，然后可得出PA：PB的值．

解答：解：連接CE，OC，

選擇①②④作為題設(shè)，③⑤作為結(jié)論，
證明③：∵PC是圓O'的切線，
∴∠DCA=∠CBA，
∵AC是圓O'的直徑，AB是圓O的直徑，
∴∠AEC=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠DCA，
∴AD=AE．
證明⑤：易證△ABC∽△ACE，
則

AC

BC

=

AE

CE

，
∵AD=AE，
∴

AE

CE

=

AD

CE

，
∵△PCE∽△PAD，
∴

AD

CE

=

PD

PE

，
綜上可得：

AC

BC

=

PD

PE

，
即證明AC•PE=BC•PD．
（2）由（1）的證明過程可得：

PD

PE

=

AC

BC

=

PA

PC

=

4

3

，
∵

PB

PC

=

PC

PA

（切割線定理），
∴

PB

PC

=

PC

PA

=

3

4

，
∴PA：PB=

PA

PC

：

PB

PC

=

16

9

．

點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了切割線定理、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此類題目要求同學(xué)們先將比例式變形，然后一步一步的推，邏輯性要強．