Question

【題目】經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線

（2）在△ABC中，∠A=52°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．

（3）如圖2，△ABC中，AC=3，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠ACB=96°或104°；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．

（2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)AD＝CD時(shí)，②如圖3中，當(dāng)AD＝AC時(shí)，③如圖4中，當(dāng)AC＝CD時(shí)，分別求出∠ACB即可．

（3）設(shè)BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可求出BD的長(zhǎng)，然后再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出CD的長(zhǎng)．

試題解析：

（1）證明：如圖1中，

∵∠A＝40°，∠B＝60°，

∴∠ACB＝80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A＝40°，

∴△ACD為等腰三角形，

∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割線． 　　　　　

（2）①當(dāng)AD＝CD時(shí)，如圖2，

∠ACD＝∠A＝52°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝52°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝104°．　　　　　　　　　

②當(dāng)AD＝AC時(shí)，如圖3中，

∠ACD＝∠ADC＝＝64°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝52°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝116°．　　　　　　　

③當(dāng)AC＝CD時(shí)，如圖4中，

∠ADC＝∠A＝52°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝52°，

∴∠ADC＝∠BCD

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．

綜上所述，∠ACB＝96°或104°．　　　　　　　　　　　

（3）由已知AC＝AD＝3，

∵△BCD∽△BAC，

∴＝，設(shè)BD＝x，

∴22＝x（x＋3），

∵x＞0，

∴x＝1，

∵△BCD∽△BAC，

∴＝，即，

∴CD＝．