Question

（本小題滿分12分）如圖，拋物線y=Ax2+C（A≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；

②試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)．

 

Answer 1

（1）y=x2﹣1；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①；②詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）【解析】
∵拋物線y=Ax2+C（A≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1），

∴，

解得，

所以，拋物線的解析式為y=x2﹣1；

（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2﹣1），

則AO==m2+1，

∵直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2，

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，

∴AO=AM；

（3）【解析】
①k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，點(diǎn)A、B在x軸上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴=+=1；

②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），

則===，

聯(lián)立，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，

x12•x22=16，

∴===1，

∴無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)1．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題