【題目】如圖1,在△ABC中,AE⊥BC于E,AE=BE,D是AE上的一點(diǎn),且DE=CE,連接BD,CD.

(1)試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后,試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,并說明理由;
(3)如圖3,若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形,其他條件不變.
①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎?如果能,請直接寫出夾角度數(shù);如果不能,請說明理由.

【答案】
(1)

解:BD=AC,BD⊥AC,

理由:延長BD交AC于F.

∵AE⊥BC,

∴∠AEB=∠AEC=90°,

在△BED和△AEC中

∴△BED≌△AEC,

∴BD=AC,∠DBE=∠CAE,

∵∠BED=90°,

∴∠EBD+∠BDE=90°,

∵∠BDE=∠ADF,

∴∠ADF+∠CAE=90°,

∴∠AFD=180°﹣90°=90°,

∴BD⊥AC


(2)

解:

不發(fā)生變化,

理由是:∵∠BEA=∠DEC=90°,

∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,

∴∠BED=∠AEC,

在△BED和△AEC中

∴△BED≌△AEC,

∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,

∵∠DEC=90°,

∴∠ACE+∠EOC=90°,

∵∠EOC=∠DOF,

∴∠BDE+∠DOF=90°,

∴∠DFO=180°﹣90°=90°,

∴BD⊥AC


(3)

解:能.

理由:∵△ABE和△DEC是等邊三角形,

∴AE=BE,DE=EC,∠EDC=∠DCE=60°,∠BEA=∠DEC=60°,

∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,

∴∠BED=∠AEC,

在△BED和△AEC中中

∴△BED≌△AEC,

∴∠BDE=∠ACE,

∴∠DFC=180°﹣(∠BDE+∠EDC+∠DCF)

=180°﹣(∠ACE+∠EDC+∠DCF)

=180°﹣(60°+60°)

=60°,

即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°或120°


【解析】(1)延長BD交AC于F,求出∠AEB=∠AEC=90°,證出△BED≌△AEC,推出BD=AC,∠DBE=∠CAE,根據(jù)∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°,求出∠AFD=90°即可;(2)求出∠BED=∠AEC,證出△BED≌△AEC,推出BD=AC,∠BDE=∠ACE,根據(jù)∠ACE+∠EOC=90°求出∠BDE+∠DOF=90°,求出∠DFO=90°即可;(3)求出∠BED=∠AEC,證出△BED≌△AEC,推出∠BDE=∠ACE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DFC即可.
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的內(nèi)角和外角和全等三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道三角形的三個(gè)內(nèi)角中,只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個(gè)銳角互余;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角;全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

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