Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為－8.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E.

①設(shè)△PDE的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；

②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）；

（2）①x=﹣3時，l最大=15；

②點P有三個，分別是P1（，2），P2（，2），P3（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可；

（2）①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函數(shù)最值即可；

②當(dāng)點G落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，

所以得出P點坐標(biāo)，當(dāng)點F落在y軸上時，，解得，可得P點坐標(biāo)．

試題解析：（1）對于，當(dāng)y=0，x=2．當(dāng)x=﹣8時，y=﹣．

∴A點坐標(biāo)為（2，0），B點坐標(biāo)為（﹣8，﹣）．

由拋物線經(jīng)過A、B兩點，

得

解得．

∴；

（2）①設(shè)直線與y軸交于點M，

當(dāng)x=0時，y=．∴OM=．

∵點A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA=2．∴AM=．

∵OM：OA：AM=3：4：5．

由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．

∴DE：PE：PD=3：4：5．

∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，

∵PD⊥x軸，

∴PD兩點橫坐標(biāo)相同，

∴PD=yP﹣yD=﹣（）=﹣x2﹣x+4，

∴．

∴x=﹣3時，l最大=15；

②當(dāng)點G落在y軸上時，如圖2，

由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即，解得，

所以P1（，2），P2（，2），

如圖3，過點P作PN⊥y軸于點N，過點P作PS⊥x軸于點S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P點橫縱坐標(biāo)相等，

故得當(dāng)點F落在y軸上時，

，解得，

可得P3（，），P4（，），（舍去）．

綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是P1（，2），P2（，2），P3（，）．

考點：二次函數(shù)綜合題．