Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）分兩種情況討論：①當△BPQ∽△BAC時，

BP

BA

=

BQ

BC

，當△BPQ∽△BCA時，

BP

BC

=

BQ

BA

，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可；
（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出

AC

CM

=

CQ

MP

，代入計算即可；
（3）作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，先得出DF=

PE+QC

2

，再把QC=4t，PE=8-CM=8-4t代入求出DF，過BC的中點R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過R的中位線上，從而證出PQ的中點在△ABC的一條中位線上．

解答：解：（1）①當△BPQ∽△BAC時，
∵

BP

BA

=

BQ

BC

，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴

5t

10

=

8-4t

8

，
∴t=1；
②當△BPQ∽△BCA時，
∵

BP

BC

=

BQ

BA

，
∴

5t

8

=

8-4t

10

，
∴t=

32

41

，
∴t=1或

32

41

時，△BPQ與△ABC相似；

（2）如圖所示，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴

AC

CM

=

CQ

MP

，
∴

6

8-4t

=

4t

3t

，
解得：t=

7

8

；

（3）如圖，仍有PM⊥BC于點M，PQ的中點設(shè)為D點，再作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，

∵∠ACB=90°，
∴DF為梯形PECQ的中位線，
∴DF=

PE+QC

2

，
∵QC=4t，PE=8-BM=8-4t，
∴DF=

8-4t+4t

2

=4，
∵BC=8，過BC的中點R作直線平行于AC，
∴RC=DF=4成立，
∴D在過R的中位線上，
∴PQ的中點在△ABC的一條中位線上．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等，關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分兩種情況討論．