Question

如圖①，已知二次函數(shù)的解析式是y＝ax2＋bx(a>0)，頂點為A(1，－1)．

(1)a＝ ；

(2)若點P在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖像上運動，連結(jié)OP，交對稱軸于點B，點B關(guān)于頂點A的對稱點為C，連接PC、OC，求證：∠PCB＝∠OCB；

(3)如圖②，將拋物線沿直線y＝－x作n次平移(n為正整數(shù)，n≤12)，頂點分別為A1，A2，…，An，橫坐標依次為1，2，…，n，各拋物線的對稱軸與x軸的交點分別為D1，D2，…，Dn，以線段AnDn為邊向右作正方形AnDnEnFn，是否存在點Fn恰好落在其中的一個拋物線上，若存在，求出所有滿足條件的正方形邊長；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）1；（2）證明見解析；（3）2，6．

【解析】

試題分析：（1）直接利用頂點坐標，進而代入求出即可；

（2）根據(jù)題意得出，，進而得出△ODC∽△PHC，求出即可；

（3）由題意得出：A1（1，-1），A2（2，-2），A3（3，-3），…An（n，-n），進而得出F1（2，-1），F(xiàn)2（4，-2），F(xiàn)3（6，-3），…Fn（2n，-n）..，即可分類討論得出n的值．

試題解析：（1）【解析】
∵二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx（a＞0），頂點為A（1，-1），

∴，

解得：．

（2）證明：由（1）得，拋物線的解析式為：y=x2-2x，

設(shè)P（m，m2-2m），則直線OP的解析式為：y=（m-2）x，

∴B（1，m-2），∴C（1，-m），

過點P作PH⊥CD于點H，則PH=m-1，CH=m2-m，

∴，，

∵∠ODC=∠PHC，

∴△ODC∽△PHC，

∴∠PCB=∠OCB；

（3）【解析】
由題意得出：A1（1，-1），A2（2，-2），A3（3，-3），…An（n，-n），

∴F1（2，-1），F(xiàn)2（4，-2），F(xiàn)3（6，-3），…Fn（2n，-n）…

若Fn恰好落在其中的第m個拋物線上（m為正整數(shù)，m≤12），

則該拋物線解析式為：y=（x-m）2-m，

將Fn代入得：-n=（2n-m）2-m，

即（2n-m）2=m-n，

∴m-n是一個平方數(shù)，只能是0，1，4，9，

當m-n=0時，2n-m=0，∴m=n=0（舍去）；

當m-n=1時，2n-m=1或-1，∴n=2或0（舍去）；

當m-n=4時，2n-m=2或-2，∴n=2或6；

當m-n=9時，2n-m=3或-3，∴n=6（舍去）或12（舍去）．

綜上所述，正方形邊長n的值可以是2，6．

考點：二次函數(shù)綜合題．