【題目】如圖,以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E,連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),連接EP,AD.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,∠B=30°,求P點(diǎn)到直線AD的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)連接FO,由P為BC的中點(diǎn),AO=CO,得到OP∥AB,由于AC是⊙O的直徑,得出CE⊥AE,根據(jù)OP∥AB,得出OP⊥CE,于是得到OP所在直線垂直平分CE,推出PC=PE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到結(jié)論.
(2)設(shè)P點(diǎn)到直線AD的距離為d,記△PAD的面積S△PAD,根據(jù)三角形的面積得到d= ①由勾股定理得BC=6,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPC=∠B=30°,推出△OEA為等邊三角形,得到∠EOA=60°,在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD==3 ,將以上數(shù)據(jù)代入①得即可得到結(jié)論.
(1)證明:連接CE,如圖所示:
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠AEC=90°.
∴∠BEC=90°.
∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),
∴EF=BF=CF.
∴∠FEC=∠FCE.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE.
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°,
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°.
∴EF是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)P點(diǎn)到直線AD的距離為d,記△PAD的面積S△PAD,
則有:S△PAD=ADd=PDAC,
∴d=①
∵⊙O的半徑為3,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=6,AB=12,
由勾股定理得BC=6,
∴PC=3
∵O,P分別是AC,BC的中點(diǎn),
∴OP∥AB,
∴∠OPC=∠B=30°,
∵OE=OA,∠OAE=60°,
∴△OEA為等邊三角形,
∴∠EOA=60°,
∴∠ODC=90°﹣∠COD=90°﹣∠EOA=30°,
∴∠ODC=∠OPC=30°,
∴OP=OD,
∵OC⊥PD,
∴CD=PC=3,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD==3,
將以上數(shù)據(jù)代入①得:d===.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】感知:如圖①,四邊形ABCD、CEFG均為正方形.易知BE=DG.
探究:如圖②,四邊形ABCD、CEFG均為菱形,且∠A=∠F.求證:BE=DG.
應(yīng)用:如圖③,四邊形ABCD、CEFG均為菱形,點(diǎn)E在邊AD上,點(diǎn)G在AD的延長(zhǎng)線上.若AE=3ED, ∠A=∠F,△EBC的面積為8,則菱形CEFG的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與相切于點(diǎn)T,直線與相交于兩點(diǎn),連接.
(1)求證:;
(2)若,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留無(wú)理數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E,交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)證明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的長(zhǎng),
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解居民的環(huán)保意識(shí),社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機(jī)抽取了若干名居民開(kāi)展主題為“打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”的環(huán)保知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答活動(dòng),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計(jì)圖(得分為整數(shù),滿分為10分,最低分為6分)
請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查一共抽取了 名居民;
(2)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)社區(qū)決定對(duì)該小區(qū)500名居民開(kāi)展這項(xiàng)有獎(jiǎng)問(wèn)答活動(dòng),得10分者設(shè)為“一等獎(jiǎng)”,請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果,幫社區(qū)工作人員估計(jì)需準(zhǔn)備多少份“一等獎(jiǎng)”獎(jiǎng)品?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距離公式為:d=,
例如,求點(diǎn)P(1,3)到直線4x+3y﹣3=0的距離.
解:由直線4x+3y﹣3=0知:A=4,B=3,C=﹣3
所以P(1,3)到直線4x+3y﹣3=0的距離為:d==2
根據(jù)以上材料,解決下列問(wèn)題:
(1)求點(diǎn)P1(1,-1)到直線3x﹣4y﹣5=0的距離.
(2)已知:⊙C是以點(diǎn)C(2,1)為圓心,1為半徑的圓,⊙C與直線y=﹣x+b相切,求實(shí)數(shù)b的值;
(3)如圖,設(shè)點(diǎn)P為問(wèn)題2中⊙C上的任意一點(diǎn),點(diǎn)A,B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn),且AB=2,請(qǐng)求出△ABP面積的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點(diǎn)O,并分別與邊CD,BC交于點(diǎn)F,E,連接AE,下列結(jié)論:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD=S四邊形OECF;④當(dāng)BP=1時(shí),tan∠OAE=,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的港珠澳大橋是目前橋梁設(shè)計(jì)中廣泛采用的斜拉橋,它用粗大的鋼索將橋面拉住,為檢測(cè)鋼索的抗拉強(qiáng)度,橋梁建設(shè)方從甲、乙兩家生產(chǎn)鋼索的廠方各隨機(jī)選取5根鋼索進(jìn)行抗拉強(qiáng)度的檢測(cè),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:百噸)
甲、乙兩廠鋼索抗拉強(qiáng)度檢測(cè)統(tǒng)計(jì)表
鋼索 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 |
甲廠 | 10 | 11 | 9 | 10 | 12 | 10.4 | 10 | 1.04 |
乙廠 | 10 | 8 | 12 | 7 | 13 | a | b | c |
(1)求乙廠5根鋼索抗拉強(qiáng)度的平均數(shù)a(百噸)、中位數(shù)b(百噸)和方差c(平方百噸).
(2)橋梁建設(shè)方?jīng)Q定從抗拉強(qiáng)度的總體水平和穩(wěn)定性來(lái)決定鋼索的質(zhì)量,問(wèn)哪一家的鋼索質(zhì)量更優(yōu)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電子廠商設(shè)計(jì)了一款制造成本為18元新型電子廠品,投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷.經(jīng)過(guò)調(diào)查,得到每月銷售量y(萬(wàn)件)與銷售單價(jià)x(元)之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:
銷售單價(jià)x(元/件) | … | 20 | 25 | 30 | 35 | … |
每月銷售量y(萬(wàn)件) | … | 60 | 50 | 40 | 30 | … |
(1)求出每月銷售量y(萬(wàn)件)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求出每月的利潤(rùn)z(萬(wàn)元)與銷售單x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定,這種電子產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)率不能高于50%,而且該電子廠制造出這種產(chǎn)品每月的制造成本不能超過(guò)900萬(wàn)元.那么并求出當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),廠商每月能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=售價(jià)﹣制造成本)
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