Question

如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

　

Answer 1

【考點】切線的判定．

【分析】（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根據(jù)勾股定理得出方程r²+（8﹣r）²=（）²，求出即可．

【解答】（1）證明：

連接OA、OD，

∵D為弧BE的中點，

∴OD⊥BC，

∠DOF=90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA為半徑，

∴AC是⊙O切線；

（2）解：∵⊙O半徑是r，

∴OD=r，OF=8﹣r，

在Rt△DOF中，r²+（8﹣r）²=（）²，

r=6，r=2（舍），當(dāng)r=2時，OB=OE=2，OF=BF﹣OB=8﹣2=6＞OE，∴y舍去；

即⊙O的半徑r為6．，

【點評】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算的能力．