Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，AD為BC邊上的高，點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．

（l）求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；x為何值時(shí)，PQ⊥AB？

（2）當(dāng)O＜x＜2時(shí)，AD是否能平分△PQD的面積？若能，說(shuō)出理由；

（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫(xiě)出過(guò)程）．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=（Q在AC上）時(shí)，PQ⊥AC；x=時(shí)PQ⊥AB；（2）AD平分△PQD的面積；（3）當(dāng)x=或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，當(dāng)0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】

試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×時(shí)間表示出CP和CQ的長(zhǎng)，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

若使PQ⊥AB，則根據(jù)路程=速度×時(shí)間表示出BP，BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點(diǎn)．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；

（3）根據(jù)（1）中求得的值即可分情況進(jìn)行討論．

試題解析：（1）當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC，

當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4-x=2×2x，

∴x=；

當(dāng)x=（Q在AC上）時(shí)，PQ⊥AC；

如圖：①

當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，BP=x，BQ=x，AC+AQ=2x；

∵AC=4，

∴AQ=2x-4，

∴2x-4+x=4，

∴x=，

故x=時(shí)PQ⊥AB；

（2）過(guò)點(diǎn)QN⊥BC于點(diǎn)N，

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；

∴NC=x，

∴BP=NC，

∵BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面積；

（3）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

當(dāng)x=或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當(dāng)0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．