Question

如圖1，已知△AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），C（0，2）．
（1）請(qǐng)你以AC的中點(diǎn)為對(duì)稱中心，畫出△AOC的中心對(duì)稱圖形△ABC，此圖與原圖組成的四邊形OABC的形狀是

 

，并說明理由；
（2）如圖2，已知D（-

1

2

，0），過A，C，D的拋物線與（1）所得的四邊形OABC的邊BC交于點(diǎn)E，求拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在問題（2）的圖形中，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)E不重合），且S_△PAC=S_△ACE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）△AOC是等腰直角三角形，根據(jù)中心中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)易證，四邊形OABC是菱形，然后根據(jù)正方形的定義即可證得是正方形；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過點(diǎn)A、C、D的拋物線的解析式，直線BC的解析式是y=2，因而把y=2代入拋物線的解析式即可求得E的坐標(biāo)；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的上方和點(diǎn)P在直線AC的下方時(shí)兩種情況，分別求得過E點(diǎn)，且平行于AC的直線的解析式，解直線的解析式與拋物線的解析式組成的方程組，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)A的中點(diǎn)為F，連接OF并延長至B，使得BF=OF；
連接AC，AB，則△ABC為所求作的△AOC的中心對(duì)稱圖形，
∵A（2，0），C（0，2），
∴OA=OC．
∵△ABC是△AOC的中心對(duì)稱圖形，
∴AB=OC，BC=OA，∴OA=AB=BC=OC，
∴四邊形OABC是菱形，
又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是正方形．
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、C、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則
∵A（2，0），C（0，2），D（-

1

2

，0），
∴

4a+2b+c=0 c=2 1 4 a- 1 2 b+c=0

，解得：

a=-2 b=3 c=2

，…（7分）
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+3x+2．
由（1）知，四邊形OABC為正方形，
∴B（2，2），
∴直線BC的解析式為y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=

3

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，2）．
（3）由題意，可得：S_△ACE=

1

2

CE•AB=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的上方時(shí)，過點(diǎn)E作直線m∥AC，與拋物線的交點(diǎn)為所求點(diǎn)．
設(shè)直線m的表達(dá)式為y=k₁x+b₁，則由題意，可得：k₁=-1，∴y=-x+b₁．
又∵點(diǎn)E在直線m上，∴-

3

2

+b₁=2，∴b₁=

7

2

，∴y=-x+

7

2

．
由

y=-x+ 7 2 y=-2x2+3x+2

得：

x1= 1 2 y1=2

或

x2= 3 2 y2=2

∴點(diǎn)P₁（

1

2

，3）．
②當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的下方時(shí)，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E′（0，

1

2

），過點(diǎn)E′作直線n∥AC，與拋物線的交點(diǎn)為所求點(diǎn)P．與①同理，可求得直線n的表達(dá)式為y=-x+

1

2

，則由

y=-x+ 1 2 y=-2x2+3x+2

得：

x1=1+ 7 2 y1= 5- 7 2

或

x2=1- 7 2 y2= 5+ 7 2

，
∴點(diǎn)P₂（1+

7

2

，

5- 7

2

），P₃（1-

7

2

，

5+ 7

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的判定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法的綜合應(yīng)用，正確分兩種情況討論是關(guān)鍵．