【題目】我們提供如下定理:在直角三角形中,30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半,
如圖(1),Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,則BC=AB.
請利用以上定理及有關知識,解決下列問題:
如圖(2),邊長為6的等邊三角形ABC中,點D從A出發(fā),沿射線AB方向有A向B運動點F同時從C出發(fā),以相同的速度沿著射線BC方向運動,過點D作DE⊥AC,DF交射線AC于點G.
(1)當點D運動到AB的中點時,直接寫出AE的長;
(2)當DF⊥AB時,求AD的長及△BDF的面積;
(3)小明通過測量發(fā)現(xiàn),當點D在線段AB上時,EG的長始終等于AC的一半,他想當點D運動到圖3的情況時,EG的長始終等于AC的一半嗎?若改變,說明理由;若不變,說明理由.
【答案】(1)AE =;(2)AD=2,S△BDF=8;(3)不變,理由見解析
【解析】
(1)根據D為AB的中點,求出AD的長,在Rt△ADE中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長即可;
(2)根據題意得到設AD=CF=x,表示出BD與BF,在Rt△BDF中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到BF=2BD,列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出BD與BF的長,利用勾股定理求出DF的長,即可確定出△BDF的面積;
(3)不變,理由如下,如圖,過F作FM⊥AG延長線于M,由AD=CF,且△ABC為等邊三角形,利用等邊三角形的性質及銳角三角函數(shù)定義得到DE=FM,以及AE=CM,利用AAS得到△DEG與△FMC全等,利用全等三角形對應邊相等得到EG=MG,根據AC=AE+EC,等量代換即可得證.
解:(1)當D為AB中點時,AD=BD=AB=3,
在Rt△ADE中,∠A=60°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD=;
(2)設AD=x,∴CF=x,
則BD=6-x,BF=6+x,
∵∠B=60°,∠BDF=90°,
∴∠F=30°,即BF=2BD,
∴6+x=2×(6-x),
解得:x=2,即AD=2,
∴BD=4,BF=8,
根據勾股定理得:DF=4,
∴S△BDF=×4×4=8;
(3)不變,理由如下,如圖,過F作FM⊥AG延長線于M,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°,
在Rt△ADE和Rt△FCM中,
∴Rt△ADE≌Rt△FCM,
∴DE=FM,AE=CM,
在△DEG和△FMG,
,
∴△DEG≌△FMG,
∴GE=GM,
∴AC=AE+EC=CM+CE=GE+GM=2GE.
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【題目】如圖,△ABC的頂點都在方格紙的格點上,將△ABC向右平移4格,再向上平移2格,其中每個格子的邊長為1個單位長度。
⑴在圖中畫出平移后的△A′B′C′;
⑵若連接AA′、CC′,則這兩條線段的關系是 ;
⑶作△ABC的高AD,并求△ABC的面積。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,的坐標分別為,,將線段先向上平移個單位長度,再向右平移個單位長度,得到線段,連接,,構成平行四邊形.
(1)請寫出點的坐標為________,點的坐標為________,________;
(2)點在軸上,且,求出點的坐標;
(3)如圖,點是線段上任意一個點(不與、重合),連接、,試探索、、之間的關系,并證明你的結論.
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【題目】△ABC在平面直角坐標系中,且A、B、C.將其平移后得到,若A,B的對應點是,,C的對應點的坐標是.
(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC;
(2)寫出點的坐標是_____________,坐標是___________;
(3)此次平移也可看作向________平移了____________個單位長度,再向_______平移了______個單位長度得到△ABC.
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【題目】如圖,在銳角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值是__________.
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【題目】隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近,東方紅商場決定開展“歡度端午,回饋顧客”的讓利促銷活動,對部分品牌粽子進行打折銷售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元?
(2)陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢?
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【題目】如圖,直線AB是某天然氣公司的主輸氣管道,點C、D是在AB異側的兩個小區(qū),現(xiàn)在主輸氣管道上尋找支管道連接點,向兩個小區(qū)鋪設管道有以下兩個方案:
方案一:只取一個連接點P,使得像兩個小區(qū)鋪設的支管道總長度最短,在圖中標出點P的位置,保留畫圖痕跡;
方案二:取兩個連接點M和N,使得點M到C小區(qū)鋪設的支管道最短,使得點N到D小區(qū)鋪設的管道最短在途中標出M、N的位置,保留畫圖痕跡;
設方案一中鋪設的支管道總長度為L1,方案二中鋪設的支管道總長度為,則L1與L2的大小關系為: L1_____ L2(填”、”或)理由是______.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,點D在AC上,BC=BD,DE∥BC交AB于點E,則圖中等腰三角形共有( )
A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個
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【題目】(1)如圖①∠1+∠2與∠B+∠C有什么關系?為什么?
(2)把圖①△ABC沿DE折疊,得到圖②,填空:∠1+∠2_______∠B+∠C(填“>”“<”“=”),當∠A=40°時,∠B+∠C+∠1+∠2=______.
(3)如圖③,是由圖①的△ABC沿DE折疊得到的,如果∠A=30°,則x+y=360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°- = ,猜想∠BDA+∠CEA與∠A的關系為
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