Question

如圖，點C是半圓O的半徑OB上的動點，作PC⊥AB于點C，點D是半圓上位于PC左側的點，連結BD交線段PC于E，且PD=PE．
（1）若⊙O的半徑為4，PC=8，OC=1，求∠B的正切值與正弦值；
（2）連結AD，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD、OP，先證明∠PDO=90°，然后根據(jù)勾股定理求得OP的長，進而根據(jù)勾股定理求得PE的長，即可求得CE的長，根據(jù)勾股定理求得EB的長，從而求得∠B的正切值與正弦值；
（2）根據(jù)圓周角的性質(zhì)求得∠ADB=90°利用∠B的正弦值和AB的長即可求得AD的長．

解答：解：（1）連接OD、OP，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．                
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．                
∴∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．                            
∴PD是⊙O的切線．                       
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=1+64=65．                    
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=65-16=49．
∴PD=7，
∵PD=PE．
∴PE=7，
∴EC=PC-PE=8-7=1，
∴BE=

CE2+CB2

=

1+32

=

10

，
∴tanB=

CE

CB

=

1

3

，sinB=

CE

EB

=

1

10

=

10

10

；

（2）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴sinB=

AD

AB

，
∴AD=AB•sinB=8×

10

10

=

4 10

5

．

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用及綜合解直角三角形的能力．