Question

定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)

（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=2，MN=3求BN的長；

（2）如圖2，在△ABC中，F(xiàn)G是中位線，點(diǎn)D，E是線段BC的勾股分割點(diǎn)，且EC>DE≥BD，連接AD，AE分別交FG于點(diǎn)M，N，求證：點(diǎn)M，N是線段FG的勾股分割點(diǎn)

（3）已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖3所示，請?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D，使C，D是線段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

（4）如圖4，已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN>AM≥BN，△AMC，△MND

和△NBM均是等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點(diǎn)F，G，H，若H是DN的中點(diǎn)，試探究，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由21教育網(wǎng)

Answer 1

（1）解:當(dāng)為最大線段時，

∵點(diǎn)，是線段的勾股分割點(diǎn)，

∴.       

當(dāng)為最大線段時，

∵點(diǎn)，是線段的勾股分割點(diǎn)，

∴.        

綜上，或.              

（2）證明：∵是△的中位線，∴.

∴.

∴點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).  

∴，，.   ∵點(diǎn)，是線段的勾股分割點(diǎn)，且 ＞ ≥，

∴.

∴.

∴.                        

∴點(diǎn)，是線段的勾股分割點(diǎn).      

（3）用尺規(guī)畫出圖形，如圖3所示.             

（4）解：.    

理由：設(shè)_，，，

∵是的中點(diǎn)，∴.

∵△，△均為等邊三角形，

∴.

∵，

∴△≌△.

∴.∴.

∵，∴△∽△.

∴.

∴.

∵點(diǎn)，是線段的勾股分割點(diǎn)，

∴.

∴，

又∵.∴.             

在△和△中，，，，

∴△≌△.

∴.                   

∵，∴.

∴.

∵，，

∴.