Question

如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E．

①求證：IE=BE；

②線段IE是哪兩條線段的比例中項(xiàng)，試加以證明．

　

Answer 1

 ①證明：連接BI．

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4；

∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，

∴∠BIE=∠EBI；

∴IE=BE；

②解：考慮有公共邊公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中項(xiàng)．

證明如下：

∵∠5=∠1，∠1=∠2；

∴∠5=∠2；

又∵∠E=∠E，

∴△BED∽△AEB；

∴BE：DE=AE：BE；

∴BE²=AE•DE；

又∵IE=BE，

∴IE²=AE•DE．