【題目】如圖,△ABC的邊BC在直線l上,AC⊥BC,且AC=BC,△EFP的邊FP也在直線l上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP.
(1)在圖①中,請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量、猜想,寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖②的位置時(shí),EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP,BQ,猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請(qǐng)證明你的猜想;
(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖③的位置時(shí),EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q,連接AP,BQ,你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)AB=AP,AB⊥AP (2)BQ=AP,BQ⊥AP (3)成立
【解析】
(1)根據(jù)圖形就可以猜想出結(jié)論.(2)要證BQ=AP,可以轉(zhuǎn)化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP;要證明BQ⊥AP,可以證明∠QMA=90°,只要證出∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=90°即可證出.(3)類比(2)的證明就可以得到,結(jié)論仍成立.
(1)AB=AP,AB⊥AP
證明:∵AC⊥BC且AC=BC,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=(180°﹣∠ACB)=45°,
又∵△ABC與△EFP全等,
同理可證∠PEF=45°,
∴∠BAP=45°+45°=90°,
∴AB=AP且AB⊥AP;
(2)BQ=AP;BQ⊥AP.
證明:①由已知,得EF=FP,EF⊥FP,
∴∠EPF=45°.
又∵AC⊥BC,
∴∠CQP=∠CPQ=45°.
∴CQ=CP.
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中,
BC=AC,∠BCQ=∠ACP=90°,CQ=CP,
∴△BCQ≌△ACP(SAS),
∴BQ=AP.
②如圖,延長BQ交AP于點(diǎn)M.
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,
∴∠1=∠2.
∵在Rt△BCQ中,∠1+∠3=90°,又∠3=∠4,
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°.
∴∠QMA=90°.
∴BQ⊥AP;
(3)成立.證明:∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°.又∵AC⊥BC,∴∠CQP=∠CPQ=45°,∴CQ=CP.由SAS可證△BCQ≌△ACP,∴BQ=AP.延長QB交AP于點(diǎn)N,則∠PBN=∠CBQ.∵△BCQ≌△ACP,∴∠BQC=∠APC.在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°,∴∠APC+∠PBN=90°,∴∠PNB=90°,∴BQ⊥AP
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料并解答下列問題.
你知道嗎?一些代數(shù)恒等式可以用平面圖形的面積來表示,例如(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用圖甲中的①或②的面積表示.
(1)請(qǐng)寫出圖乙所表示的代數(shù)恒等式;
(2)畫出一個(gè)幾何圖形,使它的面積能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;
(3)請(qǐng)仿照上述式子另寫一個(gè)含有a,b的代數(shù)恒等式,并畫出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知五邊形ABCDE 是⊙O 的內(nèi)接正五邊形,且⊙O 的半徑為1.則圖中陰影部分的面積是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)滿足下列條件,分別求出,的取值范圍.
使得隨增加而減。
使得函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)在軸的上方.
使得函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,,AE平分,,交AC延長線于F,且垂足為E,則下列結(jié)論:;;,;其中正確的結(jié)論有______填寫序號(hào)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(O,1),B(1,2),點(diǎn)P在軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大時(shí),該點(diǎn)記為點(diǎn)P1,當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小時(shí),該點(diǎn)記為點(diǎn)P2,以P1P2為邊長的正方形的面積為
A. 1 B. C. D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程
(Ⅰ)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(Ⅱ)若此方程的一個(gè)根是1,請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根;
(Ⅲ)求以(Ⅱ)中所得兩根為邊長的等腰三角形的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一單桿高2.2m,兩立柱之間的距離為1.6m,將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處,繩子自然下垂呈拋物線狀.
(1)一身高0.7m的小孩站在離立柱0.4m處,其頭部剛好觸上繩子,求繩子最低點(diǎn)到地面的距離;
(2)為供孩子們打秋千,把繩子剪斷后,中間系上一塊長為0.4米的木板,除掉系木板用去的繩子后,兩邊的繩子正好各為2米,木板與地面平行,求這時(shí)木板到地面的距離.(供選用數(shù)據(jù): ≈1.8, ≈1.9, ≈2.1)
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