Question

已知：關(guān)于x的方程

1

3

x²-kx-2=0，設(shè)方程的兩個根為x₁，x₂，若y=

x1+x2

x1x2

（1）如果2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范圍．
（2）當(dāng)k＞2時，比較y與-k²+

1

2

k+2的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計算題

分析：（1）先計算判別式的值得到根據(jù)題意得△=k²+

8

3

＞0，根據(jù)判別式的意義得到k為任意實數(shù)，方程有兩個不相等的實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=3k，x₁•x₂=-6，則根據(jù)題意得到2•3k＞-6，然后解不等式即可；
（2）先化簡y得到y(tǒng)=-

1

2

k，再利用求差法比較大�。河脃減去-k²+

1

2

k+2得到y(tǒng)-（-k²+

1

2

k+2）=-

1

2

k+k²-

1

2

k-2，配方得（k-

1

2

）²-

9

4

，然后根據(jù)k＞2比較大小．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=k²-4×

1

3

×（-2）=k²+

8

3

＞0，
所以k為任意實數(shù)，方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∵x₁+x₂=3k，x₁•x₂=-6，
∴2•3k＞-6，
∴k＞-1；
（2）y比-k²+

1

2

k+2要大．理由如下：

∵y=

3k

-6

=-

1

2

k，
∴y-（-k²+

1

2

k+2）=-

1

2

k+k²-

1

2

k-2
=k²-k-2
=（k-

1

2

）²-

9

4

，
∵k＞2，
∴（k-

1

2

）²-

9

4

＞0，
∴y比-k²+

1

2

k+2要大．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．