Question

如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A，B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成3個(gè)三角形．如果其中有2個(gè)三角形相似，我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；如果這3個(gè)三角形都相似，我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)．
（1）圖1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，說明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；
（2）如圖2，點(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，若DE=3，AE=

1

3

BE，求矩形ABCD的面積；
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，點(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，請(qǐng)判斷AE與BE的數(shù)量關(guān)系（要求畫出示意圖，不必說明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，然后求出∠ADE=∠BEC，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似求出△ADE和△BEC相似；
（2）先判斷出∠DEC=90°，再根據(jù)△ADE和△ECD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可根據(jù)AE=

1

3

BE可得AE=

1

4

AB=

1

4

CD，然后求出CD的長，再求出AE，利用勾股定理列式求出AD，然后利用矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）分清況討論，①∠CED=90°，再根據(jù)“點(diǎn)E是強(qiáng)相似點(diǎn)”判斷出CE、DE分別是∠BCD和∠ADC的平分線，然后根據(jù)△ADE和△EDC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

AE

EC

=

DE

CD

，根據(jù)△BCE和△ECD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

BE

DE

=

EC

CD

，整理即可得到AE=BE．
②∠CDE=90°，同理可得AE與BE的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）由三角形外角性質(zhì)可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，
∵∠A=∠DEC，
∴∠ADE=∠BEC，
又∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；

（2）∵點(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴∠DEC=90°，
由△ADE∽△ECD得，

AE

DE

=

DE

CD

，
∵AE=

1

3

BE，AB=CD，
∴AE=

1

4

AB=

1

4

CD，
∴

1 4 CD

3

=

3

CD

，
解得CD=6，
∴AE=

1

1+3

×6=

3

2

，
在Rt△ADE中，AD=

DE2-AE2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴矩形ABCD的面積=6×

3 3

2

=9

3

；

（3）∵點(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，∠B=90°，
①若∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=180°-90°=90°，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE，
若∠BCE與∠ECD互余，則四邊形ABCD是矩形，
所以，∠BEC和∠ECD只能相等，
同理∠ADE與∠EDC也相等，
即CE、DE分別是∠BCD和∠ADC的平分線，
由△ADE∽△EDC得，

AE

EC

=

DE

CD

，
∴AE•CD=DE•EC，
由△BCE∽△ECD得，

BE

DE

=

EC

CD

，
∴BE•CD=DE•EC，
∴AE=BE．
②若∠EDC=90°，
∵△AED與△BEC相似，
∴只有∠ADE=∠BCE，∠BEC=∠AED，
∴EC是∠DEB的角平分線，
∴CD=CB，
∴△CBE≌△CDE，
∴∠BCE=∠DCE，DE=BE，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠DCE+∠CDE+∠ADE=180°，
即可得3∠ADE=90°，
∴∠ADE=30°，
∴AE：DE=1：2，
∴AE：BE=1：2．
綜上可得：AE：BE=1：1或AE：BE=1：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，矩形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解四邊形邊上的相似點(diǎn)與強(qiáng)相似點(diǎn)的定義并根據(jù)圖形確定出相似三角形，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．