Question

已知一元二次方程x²+ax+a=2．
（1）證明：不論a為何值，方程總有不相等的兩實(shí)數(shù)根；
（2）x₁，x₂為方程的兩根，求（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）先求出△表達(dá)式，再根據(jù)一元二次方程的根與△的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，再代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可．

解答：（1）證明：∵原方程可化為x²+ax+a-2=0，
∴△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4≥4，
∴不論a為何值，方程總有不相等的兩實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁，x₂為方程的兩根，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=-2x₁²-2x₂²+5x₁x₂=-2（x₁+x₂）²+9x₁x₂，
=-2a²+9a-18
=-2（a-

9

4

）²-

63

8

，
∴當(dāng)a=

9

4

時，（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值為-

63

8

．

點(diǎn)評：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．