Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一個(gè)根為2
（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）求證：方程x²+px+q=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
（3）若方程x²+px+q+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求方程x²+px+q=0兩根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,一元二次方程的解

專題：

分析：（1）根據(jù)方程的解滿足方程，把x=2代入已知方程，可得q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）根據(jù)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，可得判別式大于零，根據(jù)解不等式，可得答案；
（3）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得判別式等于零，根據(jù)解方程組，可得p、q的值，根據(jù)因式分解法，可得方程的解．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2，
∴4+2p+q+1=0，
∴q=-2p-5；
（2）∵x²+px+q=0，
∴△=p²-4q=p²-4（-2p-5）=（p+4）²+4＞0，
∴方程x²+px+q=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
（3）x²+px+q+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=p²-4（q+1）=0，
由（1）可知q=-2p-5，
聯(lián)立得方程組

p2-4q-4=0① q=-2p-5②

，解得

p=-4 q=3

，
把

p=-4 q=3

代入x²+px+q=0，得
x²-4x+3=0，
因式分解，得
（x-1）（x-3）=0，
解得x₁=1，x₂=3．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式，（1）方程的解滿足方程，（2）利用了根的判別式，（3）解方程組，因式分解解方程．