Question

如圖，矩形BC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是邊OC上一點(diǎn)，且△FCB∽△DBE，求直線FB的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)B的坐標(biāo)，以及四邊形ABCO為矩形，確定出BC中點(diǎn)D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；根據(jù)E在反比例圖象上，且B與E橫坐標(biāo)相同，確定出E坐標(biāo)即可；
（2）由（1）得BD=1，BE=

3

2

，BC=2，由△FCB∽△DBE得比例，求出CF的長(zhǎng)，繼而確定出OF的長(zhǎng)，得到F坐標(biāo)，設(shè)直線FB的解析式為y=k₁x+b，將B（2，3），F(xiàn)（0，

5

3

）代入求出k₁與b的值，即可確定出直線FB解析式．

解答：解：（1）在矩形OABC中，∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∴BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
又∵雙曲線y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，3），
∴3=

k

1

，即k=3，
∵E點(diǎn)在AB上，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
又∵y=

3

x

經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為

3

2

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

3

2

）；
（2）由（1）得BD=1，BE=

3

2

，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴

BD

CF

=

BE

CB

，即

1

CF

=

3 2

2

，
∴CF=

4

3

，
∴OF=

5

3

，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，

5

3

），
設(shè)直線FB的解析式為y=k₁x+b，
將B（2，3），F(xiàn)（0，

5

3

）代入得：

3=2k1+b 5 3 =b

，
解得：

k1= 2 3 b= 5 3

，
∴直線FB的解析式為y=

2

3

x+

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．