Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2

2

，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)D．
（1）求證：△AEB≌△AED；
（2）求EF的長(zhǎng)．
（3）連接DF，求證：四邊形AEFD是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE，再加上∠AEB=∠AED=90°，公共邊AE，可利用ASA定理證明△AEB≌△AED；
（2）首先利用勾股定理計(jì)算出AC長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EB=ED，AD=AB=1，然后利用中位線定理可得EF=

1

2

DC，可得答案；
（3）根據(jù)中位線定理可得AC∥EF，再由AD=EF=1，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形AEFD是平行四邊形．

解答：（1）證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△ABE和△ADE中，

∠BAE=∠DAE AE=AE ∠AEB=∠AED

，
∴△AEB≌△AED（ASA）；

（2）解：∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2

2

，
∴AC=

AB2+BC2

=

8+1

=3，
∵△AEB≌△AED，
∴AD=AB=1，EB=DE，
∴DC=3-1=2，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，EB=DE，
∴EF=

1

2

DC=1；

（3）證明：∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，EB=DE，
∴AC∥EF，
∵EF=AD=1，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是正確證明EF=

1

2

DC=1．