Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AC的中點，過點C作⊙O的切線交OD的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連接EA．
（1）判斷EA是否為⊙O的切線，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)EC=6，CF=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，則∠OCE=90°，由D為中點可知EO⊥AC，則有CE=AE，可得∠ECA=∠EAC，且∠OCA=∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO=90°，可知EA為切線；
（2）連接BC，可證明△FBC∽△FCA，再由切線長定理可知CE=AE，在Rt△AEF中可求得AF=8，再利用線段的比可求得AB的長，可得半徑．

解答：解：（1）EA為⊙O的切線，證明如下：
如圖，連接OC，
∵EF為切線，
∴∠OCE=90°，
∵D為AC中點，
∴OE⊥AC，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=90°，
即∠EAO=90°，
∴EA為⊙O的切線；
（2）連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵EF為切線，
∴∠BCF+∠BCO=90°，且∠BCO=∠CBA，
∴∠BCF=∠CAF，
∴△BCF∽△CAF，
∴

CF

AF

=

BF

CF

，
由（1）知EA為⊙O切線，則EA=EC=6，EF=EC+FC=10，
在Rt△AEF中，可求得AF=8，
∴

4

8

=

BF

4

，解得BF=2，
∴AB=AF-BF=6，
∴⊙O的半徑為3．

點評：本題主要考查切線的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，在（2）中利用相似求得BF的長是解題的關(guān)鍵．