Question

【題目】如圖，已知二次函數和二次函數圖象的頂點分別為M、N ，與x軸分別相交于A、B兩點（點A在點B的左邊）和C、D兩點（點C在點D的左邊），

(1))函數的頂點坐標為 ；當二次函數L1 ，L2 的值同時隨著的增大而增大時，的取值范圍是 ；

(2)當AD=MN時，求的值，并判斷四邊形AMDN的形狀（直接寫出，不必證明）；

(3)當B，C是線段AD的三等分點時，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為M（-1，-2），；（2）四邊形AMDN是矩形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）把化為頂點式，即可求出頂點坐標；根據圖像即可求出次函數L1 ，L2 的值同時隨著的增大而增大時，的取值范圍；

（2）由兩點間的距離公式求出MN的長，用含a的代數式表示出AD的長，根據AD=MN列方程即可求出a的值；由兩點間的距離公式可求AN=MD，AM=DN，從而可證四邊形AMDN是平行四邊形，又AD=MN，所以可證四邊形AMDN是矩形；

（3）當B，C是線段AD的三等分點時，分兩種情況，根據兩點間的距離公式求解：①點C在點B的左邊，②點B在點C的左邊.

（1）∵

∴，

∴頂點坐標為M（-1，-2）；

∵M（-1，-2），N（2，2），

∴當時， L1 的y值隨著x的增大而增大，當時，L2的y值隨著x的增大而增大.

∴的取值范圍是 .

（2）如圖1，=5，

當y=0時，即，解得，，

當y=0時，即，，，

∴AD=（）-（）=，

當AD=MN時，即=5，解得a=2 .

當 a=2時，

=-2，=3，

∵AN=,DM=,

∴AN=DM,

∵AM=,DN=,

∴AM=DN,

∴四邊形AMDN是平行四邊形，

∵AD=3-(-2)=5,MN=5,

∴AD=MN,

∴四邊形AMDN是矩形 ;

（3）當B，C是線段AD的三等分點時，存在以下兩種情況：

①點C在點B的左邊，如圖2，BC=（）-（）=，AC=BD=3 ，

即 =3，解得 ;

②點B在點C的左邊，如圖3，CB=（）-（）=，AB=CD= ，

即=，解得 .