Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（，0），AB =6，作∠DBO=∠ABO，點(diǎn)H為y軸上的點(diǎn)，∠CAH=∠BAO，BD交y軸于點(diǎn)E，直線DO交AC于點(diǎn)C．

（1）證明：△ABE為等邊三角形；

（2）若CD⊥AB于點(diǎn)F，求線段CD的長(zhǎng)；

（3）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A﹣O﹣B路線運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿B﹣O﹣A路線運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，到A點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)△OPM與△OQN全等？

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等.

【解析】

（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；

（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，進(jìn)而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AF、OF的長(zhǎng)．再證明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF、DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．然后分四種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且二者都沒(méi)有提前停止時(shí)，；④當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且點(diǎn)Q提前停止時(shí)，，列方程求解即可．

（1）在△AOB與△EOB中，∵∠AOB=∠EOB，OB=OB，∠EBO=∠ABO，∴△AOB≌△EOB (ASA)，∴AO=EO=3，BE=AB=6，∴AE=BE=AB=6，∴△ABE為等邊三角形．

（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°．

∵CD⊥AB，∴∠AOF=30°，∴AF=．

在Rt△AOF中，OF=．

∵∠CAH=∠BAO =60°，∴∠CAF =60°，∠ACF=∠AOF=30°，∴AO=AC．

又∵CD⊥AB，∴CF=．

∵AB=6，AF=，∴BF=．

在Rt△BDF中，∠DBF =60°，∠D=30°，∴BD=．

由勾股定理得：∴DF=，∴CD=．

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)，，PO=QO得：，解得：（秒）；

②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)，，PO=QO得：，解得（秒）；

③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且二者都沒(méi)有提前停止時(shí)，，則PO=QO，得：，解得：，不合題意，舍去．

④當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且點(diǎn)Q提前停止時(shí)，有，解得：（秒）．

綜上所述：當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等．