Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在y的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，3），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D，連接BD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，以M、B、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是6，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿D→B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A→D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）或（3，）；（3）當(dāng)t= ，t=或t=時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是求出MG的長度，利用面積公式解決；注意，符合條件的點(diǎn)M有2個(gè)，不要漏解；

（3）△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論：

①若PD=PQ，如答圖2所示；

②若PD=DQ，如答圖3所示；

③若PQ=DQ，如答圖4所示．

（1）∵矩形ABCD，B（5，3），

∴A（5，0），C（0，3）．

∵點(diǎn)A（5，0），C（0，3）在拋物線y=x2+bx+c上，

∴，解得：b=，c=3．

∴拋物線的解析式為：y=x2x+3．

（2）如答圖1所示，

∵y=x2x+3=（x﹣3）2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=3．

如答圖1所示，設(shè)對稱軸與BD交于點(diǎn)G，與x軸交于點(diǎn)H，則H（3，0）．

令y=0，即x2x+3=0，解得x=1或x=5．

∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．

∵tan∠ADB=，∴GH=DHtan∠ADB=2×，

∴G（3，）．

∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，

∴MGDH+MGAH=6，

即：MG×2+MG×2=6，

解得：MG=3．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，）或（3，-）．

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，則BD=5，∴sinB=，cosB=．

以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則：

①若PD=PQ，如答圖2所示：

此時(shí)有PD=PQ=BQ=t，過點(diǎn)Q作QE⊥BD于點(diǎn)E，

則BE=PE，BE=BQcosB=t，QE=BQsinB=t，

∴DE=t+t=t．

由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，

即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，

整理得： t2+6t﹣25=0，

解得：t=或t=﹣5（舍去），

∴t=；

②若PD=DQ，如答圖3所示：

此時(shí)PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，

∴t=7﹣t，

∴t=；

③若PQ=DQ，如答圖4所示：

∵PD=t，∴BP=5﹣t；

∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3．

過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，則PF=PBsinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PBcosB=（5﹣t）×=3﹣t．

∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t．

過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PEAF為矩形，

∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7．

在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，

即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，

整理得：13t2﹣56t=0，

解得：t=0（舍去）或t=．

∴t=．

綜上所述，當(dāng)t=，t=或t=時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．