【題目】如圖,已知BD為∠ABC的平分線(xiàn),DE⊥BC于E,且AB+BC=2BE.
(1)求證:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)若將條件“AB+BC=2BE”與結(jié)論“∠BAD+∠BCD=180°”互換,結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析;
【解析】
(1)首先過(guò)D作DF⊥BA,垂足為F,再根據(jù)條件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE,再證明Rt△BFD≌Rt△BED,可得FB=BE,即AB+AF=BE,進(jìn)而得到AF=EC,然后再證明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD,再根據(jù)∠BAD+∠FAD=180°,可得∠BAD+∠BCD=180°;
(2)過(guò)D作DF⊥BA,垂足為F,首先證明∠DCE=∠FAD,再證明△AFD≌△CED,可得AF=EC,然后證明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE,再根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系可得AB+BC=2BE.
(1)證明:過(guò)D作DF⊥BA,垂足為F,
∵AB+BC=2BE,
∴AB=BE+BEBC,
AB=BE+BEBEEC,
AB=BEEC,
AB+EC=BE,
∵BD為∠ABC的平分線(xiàn),DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在Rt△BFD和Rt△BED中 ,
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
又∵AB+EC=BE,
∴AF=EC,
在△AFD和△CED中 ,
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴∠DCE=∠FAD,
∵∠BAD+∠FAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°;
(2)可以互換,結(jié)論仍然成立,理由如下:
過(guò)D作DF⊥BA,垂足為F,
∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠DCE=∠FAD,
∵BD為∠ABC的平分線(xiàn),DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在△AFD和△CED中 ,
∴△AFD≌△CED(AAS),
∴AF=EC,
在Rt△BFD和Rt△BED中 ,
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
AB=BEAF=BEEC=BE(BCBE)=BEBC+BE=2BEBC,
即:AB+BC=2BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線(xiàn),點(diǎn)D為OC上一點(diǎn),過(guò)D作直線(xiàn)DE⊥OA,垂足為點(diǎn)E,且直線(xiàn)DE交OB于點(diǎn)F,如圖所示.若DE=2,則DF=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知BC⊥AC,圓心O在AC上,點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn),點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn),點(diǎn)P是AD延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的交點(diǎn),且.
(1)求證:PD是⊙O的切線(xiàn);
(2)若AD=12,AM=MC,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是常見(jiàn)的安全標(biāo)記,其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD由四個(gè)相同的大長(zhǎng)方形,四個(gè)相同的小長(zhǎng)形以及一個(gè)小正方形組成,其中四個(gè)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的2倍,若中間小正方形的面積為1,則大正方形ABCD的面積是( )
A.36B.25C.20D.16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,過(guò)AB的中點(diǎn)E作EC⊥OA,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BD交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,使得DB=DE.
(1)求證:BD是⊙O的切線(xiàn);
(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線(xiàn)交AB于M,交AC于N.
(1)若∠ABC=70°,則∠MNA的度數(shù)是__.
(2)連接NB,若AB=8cm,△NBC的周長(zhǎng)是14cm.
①求BC的長(zhǎng);
②在直線(xiàn)MN上是否存在P,使由P、B、C構(gòu)成的△PBC的周長(zhǎng)值最小?若存在,標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長(zhǎng)最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)九年級(jí)的同學(xué)參加了一項(xiàng)“節(jié)能環(huán)!钡纳鐣(huì)調(diào)查活動(dòng),為了了解家庭用電的情況,他們隨機(jī)調(diào)查了某城區(qū)50 個(gè)家庭一年中生活用電的電費(fèi)支出情況,并繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(費(fèi)用取整數(shù),單位:元).
請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)頻數(shù)分布表中 ________________, ________________,
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這 個(gè)家庭電費(fèi)支出的中位數(shù)落在________組內(nèi);
(4)若該城區(qū)有 萬(wàn)個(gè)家庭,請(qǐng)你估計(jì)該城區(qū)有多少個(gè)一年電費(fèi)支出低于 元的家庭?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】荊州市濱江公園旁的萬(wàn)壽寶塔始建于明嘉靖年間,周邊風(fēng)景秀麗.現(xiàn)在塔底低于地面約7米,某校學(xué)生測(cè)得古塔的整體高度約為40米.其測(cè)量塔頂相對(duì)地面高度的過(guò)程如下:先在地面A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?/span>30°,再向古塔方向行進(jìn)a米后到達(dá)B處,在B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?/span>45°(如圖所示),那么a的值約為_____米(≈1.73,結(jié)果精確到0.1).
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