Question

設(shè)p,q都是實(shí)數(shù)，且．我們規(guī)定：滿(mǎn)足不等式的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，有，我們就稱(chēng)此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

（3）若實(shí)數(shù)c，d滿(mǎn)足，且，當(dāng)二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”時(shí)，求c，d的值．

 

Answer 1

（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）或；（3），.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷.

（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組或，通過(guò)解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值.

（3）由于函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)為，由題意根據(jù)圖象，分和兩種情況討論即可.　

試題解析：（1）是. 由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減少，而當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故也有，

所以，函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

（2）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，必有：

①當(dāng)時(shí)，，解之得．

∴一次函數(shù)的解析式為．

②當(dāng)時(shí)，，解之得．

∴一次函數(shù)的解析式為．

故一次函數(shù)的解析式為或．

（3）由于函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)為，由題意根據(jù)圖象，分以下兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，必有時(shí)，且時(shí)，，

即方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，解得．

而0，6分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；

②當(dāng)時(shí)，必有函數(shù)值y的最小值為，

由于此二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，故必有，從而有.

而當(dāng)時(shí)，，即得點(diǎn)；

又點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

由“閉函數(shù)”的定義可知必有時(shí)，，即 ，解得．

故可得，符合題意．

綜上所述，，為所求的實(shí)數(shù)．

考點(diǎn)：1.新定義；2.反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)；3.解二元方程組；4.分類(lèi)思想的應(yīng)用.