Question

如圖，點(diǎn)D是△ABC是的BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l∥AB交∠ABC的平分線于點(diǎn)E，交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE，CE，CF．
（1）試探索ED與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ABEF是否是菱形，說(shuō)明理由；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BFCE是正方形，請(qǐng)給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCD和∠GCD，可推出∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，所以得ED=CD=FD．
（2）由（1）得出的ED=CD=FD，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則由ED=CD=FD=AD，所以這時(shí)四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結(jié)論，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對(duì)角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解答：解：（1）ED=DF；
證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵l∥AB，
∴∠1=∠3，
則∠2=∠3，
∴ED=DB，
同理可證：DB=DF，
∴ED=DF；

（2）四邊形ABFE不可能是菱形．
理由：連接AF，若四邊形ABFE是菱形，則AF⊥BE，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
則∠2+∠4=

1

2

（∠1+∠2+∠3+∠4）=90°，
即BE⊥BE，
在同一平面內(nèi)，過同一點(diǎn)不可能有兩條直線同時(shí)垂直于同一直線．

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)，且△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形時(shí)，四邊形BFCE是正方形．
證明：∵D是BC的中點(diǎn)，
∴CD=DB，由（1）知：ED=DF，
∴四邊形BFCE是平行四邊形，
由（2）知∠FBE=90°，
∴四邊形BFCE是矩形，
又∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵EF∥AB，
∴BC⊥EF，
∴四邊形BFCE是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形和矩形的判定及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是由已知得出ED=FD，然后根據(jù)（1）的結(jié)論確定（2）（3）的條件．