Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C。

（1）如圖①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的長（結(jié)果保留根號）；

（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；

（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性質(zhì)可證∠OCD＝∠OAD＝90°，從而解決問題．

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，

∴∠BAP＝90°．

在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，

∴BP＝2AB＝2×2＝4．

由勾股定理，得．

（2）如圖，連接OC、AC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA＝90°，

∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，

在Rt△APC中，D為AP的中點(diǎn)，

∴，

∴∠4＝∠3，

∵OC＝OA，

∴∠1＝∠2，

∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，

即OC⊥CD，

∴直線CD是⊙O的切線．