Question

已知：△ABC是⊙O的內接三角形，AB=AC，在∠BAC所對弧AC上，任取一點D，連接AD，BD，CD，

（1）如圖1，∠BAC=，直接寫出∠ADB的大�。ㄓ煤�的式子表示）；

（2）如圖2，如果BAC=60°，求證：BD+CD=AD；

（3）如圖3，如果BAC=120°，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關系是什么？寫出猜測并加以證明．

Answer 1

（1）∠ADB=90°－；（2）證明見試題解析；（3），證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由AB=AC，得到∠ABC=∠ACB，即可表示出∠ACB=90°－，再由∠ACB=∠ADB得出結論；

（2）延長BD到E，使得DE=DC，可以得到△ABC是等邊三角形，再由圓內接四邊形的性質，可得到∠BAC=∠EDC=60°，從而有△DCE是等邊三角形，由△ACD≌△BCE，得到BE=AD，從而可以得到AD=BD+CD；

（3），延長DB到E，使得BE=DC，連接AE，過點A作AF⊥BD于點F，由等腰三角形的性質和由圓內接四邊形的性質，得到∠EBA=∠DCA，故有△EBA≌△DCA，得到∠E=∠1， AE=AD，在Rt△ADF中，解直角三角形可得到，從而有．

試題解析：

（1）∠ADB=90°－；

（2）延長BD到E，使得DE=DC，∵BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠BAC+∠BDC=180°，∵∠BDC+∠EDC=180°，∴∠BAC=∠EDC=60°，∵DC=DE，∴△DCE是等邊三角形，∴∠DCE=60° ，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD，∵BE=BD+DE，∴AD=BD+CD；

（3），證明如下：

延長DB到E，使得BE=DC，連接AE，過點A作AF⊥BD于點F，∵AB=AC ，∴∠1=∠2，∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠DBA+∠ACD=180°，∵∠EBA+∠DBA =180°，∴∠EBA=∠DCA，∵BE=CD，AB=AC，∴△EBA≌△DCA，∴∠E=∠1，∴AE=AD，在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴，∵∠1=90°-=30°，，∴，∴，∵ BE=BD+CD，∴．

考點：圓的綜合題．