Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線經(jīng)過(guò)拋物線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B和C。

（1）求直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與兩個(gè)端點(diǎn)均不重合），過(guò)點(diǎn)D引y軸的平行線PD交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線，如果以點(diǎn)P為圓心的⊙P與直線BC相切，請(qǐng)用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x表示⊙P的半徑R。

（3）在（2）的基礎(chǔ)上判斷⊙P與直線的位置關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，⊙P與拋物線對(duì)稱軸x=1相離，當(dāng)時(shí)，⊙P與拋物線對(duì)稱軸x=1相切，當(dāng)時(shí)，⊙P與拋物線對(duì)稱軸x=1相交.

【解析】試題分析： 分別令求得三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出直線的解析式.

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（）（0<x<4）,P(),進(jìn)而表示出,

作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)H，先用勾股定理求出的長(zhǎng)，用三角函數(shù)即可表示出的半徑

分類討論即可.

試題解析：（1）令中y=0，得，

，

解得： ，

易知

將B、C坐標(biāo)分別代入，得解得： ，

∴直線BC的解析式為： ；

（2）由題可設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（）（0<x<4）,P(),

∴PD== ,(∵),

如圖1，作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)H，則

，∴，

∴的半徑 ，即；

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5 圖6

（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，分類討論：

①當(dāng)與直線x=1在左側(cè)相切（0<x<1），則，

整理得： ，解得： ，∵0<x<1，∴；

②當(dāng)與直線在右側(cè)相切（1<x<4），則，整理得： ，解得： ，∵1<x<4，∴；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)， 與拋物線對(duì)稱軸相離，如圖2和圖3所示；

當(dāng)或時(shí)， 與拋物線對(duì)稱軸相切，如圖4和圖5所示；

當(dāng)時(shí)， 與拋物線對(duì)稱軸相交，如圖6所示.