Question

如圖，已知二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′．
①若O'落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
②是否存在正整數(shù)a，使得點(diǎn)O′落在△ABC的內(nèi)部？若存在，求出整數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）①設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，求出AE=1，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AO′=AO，然后利用∠O′AE的余弦值求出角的度數(shù)，再求出∠CAO=60°，然后利用∠CAO的正切值列式計(jì)算即可得解；
③過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，根據(jù)垂線段最短可得AF＜AB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AO′=AO=2，從而判斷出點(diǎn)O′總落在△ABC的外部．

解答：解：（1）令y=0，則x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
所以，A（2，0），B（4，0）；

（2）①如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

-6

2×1

=3，
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，求出AE=1，
將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′落在對(duì)稱軸x=3上，
∵A（2，0），
∴AO=2，
在Rt△O′AE中，cos∠O′AM=

AE

AO′

=

1

2

，
∴∠O′AM=60°，
∴∠CAO=

1

2

×（180°-∠O′AM）=

1

2

×（180°-60°）=60°，
∴tan∠CAO=

OC

OA

=

8a

2

=

3

，
解得a=

3

4

；

②過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BC，F(xiàn)為垂足，
由垂線段最短可得AF＜AB=2，
由翻折的性質(zhì)得，AO′=AO=2，
所以，不論a取何值，O點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′總落在△ABC的外部，
所以，這樣的整數(shù)a不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的求解，翻折變換的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，垂線段最短的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．