Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦BC，DE相交于點F，且DE⊥AB于點G，過點C作⊙O的切線交DE的延長線于點H．

（1）求證：HC=HF；

（2）若⊙O的半徑為5，點F是BC的中點，tan∠HCF=m，寫出求線段BC長的思路．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）求解思路見解析.

【解析】

(1)連接OC，如圖1，由切線的性質可得∠2+∠1=90°，由DE⊥AB，可得∠3+∠4=90°，繼而結合OB=OC可得到∠2=∠5，由此即可證得結論；

（2）思路一：連接OF，如圖2，由垂徑定理可得BC=2CF，∠OFC=90°，由∠6與∠1互余，∠2與∠1互余可推導得出tan∠6=m，在Rt△OFC中，由tan∠6==m，可設OF=x，CF=mx，由勾股定理，可解得x的值，由BC=2CF=2mx，可求BC的長；

思路二：連接AC，如圖3，由AB是⊙O的直徑，可得出∠6與∠4互余，繼而可得∠6=∠3，由∠6=∠3，∠3=∠2，從而可知tan∠6=m，③在Rt△ACB中，由tan∠6==m，，可設AC=x，BC=mx，由勾股定理，可解得x的值，由BC=mx，可求BC的長．

（1）連接OC，如圖1，

∵CH是⊙O的切線，

∴∠2+∠1=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠3+∠4=90°，

∵OB=OC，

∴∠1=∠4，

∴∠2=∠3，

又∵∠5=∠3，

∴∠2=∠5，

∴HC=HF；

（2）求解思路如下：

思路一：連接OF，如圖2．

①OF過圓心且點F是BC的中點，由垂徑定理可得BC=2CF，∠OFC=90°；

②由∠6與∠1互余，∠2與∠1互余可得∠6=∠2，從而可知tan∠6=m；

③在Rt△OFC中，由tan∠6==m，可設OF=x，CF=mx，由勾股定理，得x2+（mx）2=52，可解得x的值；

④由BC=2CF=2mx，可求BC的長．

思路二：連接AC，如圖3．

①由AB是⊙O的直徑，可得△ACB是直角三角形，知∠6與∠4互余，

又DE⊥AB可知∠3與∠4互余，得∠6=∠3；

②由∠6=∠3，∠3=∠2，可得∠6=∠2，從而可知tan∠6=m；

③在Rt△ACB中，由tan∠6==m，，可設AC=x，BC=mx，

由勾股定理，得x2+（mx）2=102，可解得x的值；

④由BC=mx，可求BC的長．