【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,E,F(xiàn)分別是AC,BC上的點(點E不與端點A,C重合),且AE=CF,連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使GO=OD,連接DE,DF,GE,GF.
(1)求證:四邊形EDFG是正方形;
(2)當(dāng)點E在什么位置時,四邊形EDFG的面積最。坎⑶笏倪呅蜤DFG面積的最小值.

【答案】
(1)證明:連接CD,如圖1所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是AB的中點,

∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD.

在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(SAS),

∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.

∵∠ADE+∠EDC=90°,

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,

∴△EDF為等腰直角三角形.

∵O為EF的中點,GO=OD,

∴GD⊥EF,且GD=2OD=EF,

∴四邊形EDFG是正方形


(2)解:過點D作DE′⊥AC于E′,如圖2所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4,

∴DE′= BC=2,AB=4 ,點E′為AC的中點,

∴2≤DE<2 (點E與點E′重合時取等號).

∴4≤S四邊形EDFG=DE2<8.

∴當(dāng)點E為線段AC的中點時,四邊形EDFG的面積最小,該最小值為4.


【解析】(1)連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通過角的計算可得出∠EDF=90°,再根據(jù)O為EF的中點、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可證出四邊形EDFG是正方形;(2)過點D作DE′⊥AC于E′,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長度,從而得出2≤DE<2 ,再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°),還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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