Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x+與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，當(dāng)△PCE的面積S△PCE最大時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)T從點(diǎn)Q開始出發(fā)，沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至y軸上的點(diǎn)F處，再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至x軸上的點(diǎn)G處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至直線AC上的點(diǎn)H處，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及QF+FG+AH的最小值．

（2）將△BOC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，邊BO所在直線與直線AC交于點(diǎn)M，將拋物線沿射線CA方向平移個(gè)單位后，頂點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)R在y軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以點(diǎn)D′，R，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣，），Q'H＝；（2）N（﹣，）或N（﹣，）或N（﹣，﹣）；

【解析】

（1）易求A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），直線AC的直線解析式為y＝x+，當(dāng)△PCE的面積S△PCE最大時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)到直線AC的距離d最大即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而可求點(diǎn)Q坐標(biāo)，作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q'，作AC關(guān)于x軸的對(duì)稱AC'，過點(diǎn)Q'作直線AC'的垂線交于點(diǎn)H，角y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，即可求QF+FG+AH的最小值；

（2）由平移可知拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位，易求B'O的直線解析式為y＝x﹣，從而可以知道點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后分類討論：①當(dāng)D'M是菱形RD'NM的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)D'M∥RN時(shí).

解：（1）在中令y=0，解得，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，解得，則C（0，），求得，

∴直線AC的直線解析式為，

過點(diǎn)P作PK∥y軸交AC于點(diǎn)K，設(shè)，其中，則

∵

∵，

∴拋物線開口向下，

又∵且對(duì)稱軸為直線

∴當(dāng)時(shí)，S△PCE最大，

∴

∵點(diǎn)P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，拋物線對(duì)稱軸x＝﹣1

∴

作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)），作AC關(guān)于x軸的對(duì)稱AC'

過點(diǎn)Q'作直線AC'的垂線交于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，

∴Q'F＝QF，

∵∠CAO＝∠OAH＝30°，

∴HG＝AHtan30°＝AH，

∴QF+FG+AH＝Q'F+FG+HG＝Q'H，

過Q'作Q'M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，交AH于點(diǎn)N，

∴Q'M＝，

在Rt△AMN中，AM＝，

∴MN＝，

∴Q'N＝，

在中，

∴

∴∠HQ'N＝∠OAH＝30°，

∴Q'H＝；

（2）在Rt△OBC中，OC＝，OB＝1，

∴∠CBO＝60°，

∵將△BOC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，

∴∠O'BC＝60°，

∴O'（，），

將拋物線沿射線CA方向平移個(gè)單位，

∴BB'＝，BB'∥AC，

∴∠BB'K＝30°，

過點(diǎn)B'⊥x軸，交x軸于點(diǎn)K，

在Rt△BB'K中，B'K＝，BK＝1，

∴拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位，

∵D（﹣1，），

∴D'（﹣2，），

∴B'O的直線解析式為y＝x﹣，

M點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解，

∴M（，），

①當(dāng)D'M是菱形RD'NM的對(duì)角線時(shí)，

D'M的中點(diǎn)為（﹣，），

設(shè)R（0，n），N（﹣，m），

∵＝，，

∴m＝﹣，

∴N（﹣，﹣）；

②當(dāng)D'M∥RN時(shí)，

設(shè)R（0，n），N（﹣，m），

∵D'M2＝（）2+（）2＝13，

∴D'N2＝（）2+（﹣n）2＝13，

∴m＝或m＝﹣，

∴N（﹣，）或N（﹣，）；

∴N（﹣，）或N（﹣，）或N（﹣，﹣）；