【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是對角線AC上的兩個動點(diǎn)，且EF＝2，P是正方形四邊上的任意一點(diǎn)．若△PEF是等邊三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有_____個，此時AE的長為_____．

【答案】4 或

【解析】

當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，過點(diǎn)PH⊥EF于H，由等邊三角形的性質(zhì)可求PH＝，由正方形的性質(zhì)可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求點(diǎn)P在AB，CD，BC上時，AE的值，即可求解．

解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，過點(diǎn)PH⊥EF于H，

∵△PEF是等邊三角形，PH⊥EF，

∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，

∴PH＝，

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，

∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，

∵PH⊥AC，

∴∠APH＝∠PAH＝45°，

∴AH＝PH＝，

∴AE＝﹣1，

同理可得：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，AE＝﹣1，

當(dāng)點(diǎn)P在CD或BC上時，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，

故答案為：4，或．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)M是⊙O直徑AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)C是直徑AB上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作交⊙O于點(diǎn)，作射線DM交⊙O于點(diǎn)N，連接BD．

小勇根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對線段AC，BD，MN的長度之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探究．

下面是小勇的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（1）對于點(diǎn)C在AB的不同位置，畫圖，測量，得到了線段AC，BD，MN的長度的幾組值，如下表：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置7

AC/cm

0．00

1．00

2．00

3．00

4．00

5．00

6．00

BD/cm

6．00

5．48

4．90

4．24

3．46

2．45

0．00

MN/cm

4．00

3．27

2．83

2．53

2．31

2．14

2．00

在AC，BD，MN的長度這三個量中，如果選擇________的長度為自變量，那么________的長度和________的長度為這個自變量的函數(shù)；

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中確定的函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象解決問題：當(dāng)BD=MN時，線段AC的長度約為_____cm（結(jié)果精確到0.1）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知線段AB，過點(diǎn)A的射線l⊥AB．在射線l上截取線段AC＝AB，連接BC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BM上一動點(diǎn)，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將△BPN逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DPE，B的對應(yīng)點(diǎn)為D，N的對應(yīng)點(diǎn)為E．

（1）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)P不是AB中點(diǎn)時，

①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；

②證明：以A，M，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

（2）連接EM．若AB＝4，從下列3個條件中選擇1個：

①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，

當(dāng)條件　 （填入序號）滿足時，一定有EM＝EA，并證明這個結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四邊形ABCD中，用①AB∥DC，②AD＝BC，③∠A＝∠C中的兩個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論．用“如果…，那么…“的形式，寫出一個真命題：在四邊形ABCD中，_______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：如圖，∠QAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點(diǎn)，點(diǎn)H關(guān)于射線AQ的對稱點(diǎn)為C，連接AC，CB．

（1）依題意補(bǔ)全圖；

（2）CB的垂直平分線交AQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．連接CE，HE，EB．

①求證：△EHB是等腰三角形；

②若AC+AB＝AE，求的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，D是直徑AB上一定點(diǎn)，E，F分別是AD，BD的中點(diǎn)，P是上一動點(diǎn)，連接PA，PE，PF．已知AB＝6cm，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為xcm，P，E兩點(diǎn)間的距離為y1cm，P，F兩點(diǎn)間的距離為y2cm．

小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．

下面是小騰的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值：

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

0.97

1.27

　 　

2.66

3.43

4.22

5.02

y2/cm

3.97

3.93

3.80

3.58

3.25

2.76

2.02

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)（x，y1），（x，y2），并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△PEF為等腰三角形時，AP的長度約為　 　cm．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DF．

（1）求證：△ABF是等邊三角形；

（2）若∠CDF=45°，CF=2，求AB的長度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一次綜合社會實(shí)踐活動中，小東同學(xué)從A處出發(fā)，要到A地北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了4千米到達(dá)B處，再沿北偏東15°方向走，恰能到達(dá)目的地C，如圖所示，則A、C兩地相距__千米．（結(jié)果精確到0.1千米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】明代的程大位創(chuàng)作了《算法統(tǒng)宗》，它是一本通俗實(shí)用的數(shù)學(xué)書，將枯燥的數(shù)學(xué)問題化成了美妙的詩歌，讀來朗朗上口，是將數(shù)字入詩的代表作．其中有一首飲酒數(shù)學(xué)詩：“肆中飲客亂紛紛，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同飲了一十九，三十三客醉顏生，試問高明能算士，幾多醨酒幾多醇？”這首詩是說：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他們總共飲下19瓶酒．試問：其中好酒、薄酒分別是多少瓶？”設(shè)有好酒x瓶，薄酒y瓶．根據(jù)題意，可列方程組為_____．

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