Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線交BC于點D，過點B作BE∥AD交∠BAF的平分線于點E．
（1）求證：四邊形ADBE是矩形；
（2）當(dāng)∠BAC滿足什么條件時，四邊形ADBE是正方形．

Answer 1

考點：正方形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）先根據(jù)AB=AC，AD平分∠BAC，得∠BAD=

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∠BAC，AD⊥BC，然后根據(jù)AE是△ABC的外角平分線，可求出AD⊥AE，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得到四邊形ADBE為矩形；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知當(dāng)∠BAC=90°時，則∠ABC=∠BAD=45°，利用等腰三角形的性質(zhì)定理可知對應(yīng)邊AD=BD，再運用鄰邊相等的矩形是正方形，問題得證．

解答：（1）證明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

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∠BAC，AD⊥BC，
∵AE是△ABC的外角平分線，
∴∠BAE=

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∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°，
∴AD⊥AE，
∵AD⊥BC，
∴AE∥BC，
又∵BE∥AD，∠DAE=90°，
∴四邊形ADBE是矩形；

（2）解：當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADBE是正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∴AD=BD，
又∵四邊形ADBE是矩形，
∴矩形ADBE為正方形．

點評：此題考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定與性質(zhì)和三角形外角平分線的性質(zhì)，具有一定的綜合性，需要靈活應(yīng)用．