Question

3．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DE交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；
（2）若AB=4，
①當(dāng)BC=4時(shí)，四邊形ODCE是平行四邊形；
②當(dāng)BC=2時(shí)，四邊形ODCE的面積為$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)得到ED=EB，再判斷出∠C=∠CDE，得出ED=EC即可；
（2）①得出OD⊥AB，得到點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，即OD是三角形ABC的中位線，求出BC，
②得出BE=1，先求出三角形ODE的面積，再利用切線的性質(zhì)求出EF，進(jìn)而用勾股定理求出BD，即可得出三角形BDE的面積，由三角形的中線得出三角形CDE的面積，即可．

解答 解：（1）連BD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線，
又∵DE與⊙O相切，
∴ED=EB，
∴∠EBD=∠EDB，
而∠C=90°-∠EBD，∠CDE=90°-∠EDB，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EB=EC，
即E為BC的中點(diǎn)，
（2）①如圖，連接OD，

∵四邊形ODCE是平行四邊形；
∴OD=CE，OD∥BC，
由（1）知，BE=CE，
∴OD=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴BC=2BE=4，
故答案為4，
②如圖3，

由（1）知，DE=BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
在△OBE和△ODE中$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{BE=DE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△ODE，
∴S_△ODE=S_△OBE=$\frac{1}{2}$BE×OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
在Rt△OBE中，BE=1，OB=2，
∴OE=$\sqrt{5}$，
根據(jù)射影定理，BE²=EF×OE，
∴EF=$\frac{B{E}^{2}}{OE}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BEF中，BE=1，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=2BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD×EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∵DE是△BCD的中線，
∴S_△CDE=S_△BDE=$\frac{2}{5}$，
∴S_{四邊形ODCE的面積}=S_△ODE+S_△CDE=1+$\frac{2}{5}$=$\frac{7}{5}$．
故答案為：$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是切線的性質(zhì)，主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，射影定理，解本題的關(guān)鍵是求出EF．