Question

18．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且EF⊥AB于點(diǎn)E，交邊AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．如果菱形的周長(zhǎng)為24cm，求DF與OF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 利用菱形的性質(zhì)得AD=AB=6cm，AC平分∠BAD，AC⊥BD，則∠DAC=∠BAC=30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△AOD中計(jì)算出OD=$\frac{1}{2}$AD=3，AO=$\sqrt{3}$OD=3$\sqrt{3}$，則在Rt△AOE中可計(jì)算出OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$，然后在Rt△AEF中計(jì)算出AF=2AE=9，EF=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，最后利用DF=AF-AD和OF=EF-OE進(jìn)行計(jì)算即可．
即DF與OF的長(zhǎng)分別為3cm，3$\sqrt{3}$cm．

解答 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=6cm，AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
在Rt△AOD中，∵∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=3，
AO=$\sqrt{3}$OD=3$\sqrt{3}$，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
AE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$，
在Rt△AEF中，∵∠EAF=60°，
∴AF=2AE=9，EF=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴DF=AF-AD=9-6=3，OF=EF-OE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
即DF與OF的長(zhǎng)分別為3cm，3$\sqrt{3}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．利用應(yīng)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．