Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=

5

4

x+m （m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經過A、C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．
（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若P是拋物線對稱軸上一動點，△ACP周長最小時，求出P的坐標；
（3）是否存在拋物在線一動點Q，使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在（2）的條件下過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）兩點，試問

M1P•M2P

M1M2

是否為定值？如果是，請直接寫出結果；如果不是請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求得m的值，根據(jù)拋物線對稱性得到B點坐標，根據(jù)A、B點坐標利用交點式求得拋物線的解析式；
（2）（4）問較為復雜，如答圖所示，分幾個步驟解決：
第1步：確定何時△ACP的周長最�。�利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的原理解決；
第2步：確定P點坐標P（1，3），從而直線M₁M₂的解析式可以表示為y=kx+3-k；
第3步：利用根與系數(shù)關系求得M₁、M₂兩點坐標間的關系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．這一步是為了后續(xù)的復雜計算做準備；
第4步：利用兩點間的距離公式，分別求得線段M₁M₂、M₁P和M₂P的長度，相互比較即可得到結論：

M1P•M2P

M1M2

=1為定值．這一步涉及大量的運算，注意不要出錯，否則難以得出最后的結論．
（3）分①若C為直角頂點，△ACO相似于△CQE，②若A為直角頂點，△ACO相似于△AQE，兩種情況討論求解．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

5

4

x+m經過點A（-3，0），
∴m=

15

4

，
則C的坐標為（0，

15

4

），
∵拋物線經過點A（-3，0）、C（0，

15

4

），且以直線x=1為對稱軸，
則點B的坐標為（5，0），
∴二次函數(shù)為y=-

1

4

（x+3）（x-5）或y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

；

（2）要使△ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可．
如答圖2，連接BC交x=1于P點，因為點A、B關于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最�。ˋP+CP最小值為線段BC的長度）．
∵B（5，0），C（0，

15

4

），
∴直線BC解析式為y=-

3

4

x+

15

4

，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．

（3）存在…（7分）
設Q（x，-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

）
①若C為直角頂點，則由△ACO相似于△CQE，
得x=5.2，
②若A為直角頂點，則由△ACO相似于△AQE，
得x=8.2，
∴Q的橫坐標為5.2，7.2．

（4）是定值，定值為1．
令經過點P（1，3）的直線為y=kx+b，則k+b=3，即b=3-k，
則直線的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

，
聯(lián)立化簡得：x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．
∵y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
根據(jù)兩點間距離公式得到：
M₁M₂=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)+k2(x1-x2)2

=

1+k2

(x1-x2)2

，
∴M₁M₂=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(2-4k)2-4(-4k-3)

=4（1+k²）．
又∵M₁P=

(x1-1)2+(y1-3)2

=

(x1-1)2+(kx1+3-k-3)2

=

1+k2

(x1-1)2

；
同理M₂P=

1+k2

(x2-1)2

∴M₁P•M₂P=（1+k²）•

(x1-1)2(x2-1)2

=（1+k²）•

[x1x2-(x1+x2)+1]2

=（1+k²）•

[-4k-3-(2-4k)+1]2

=4（1+k²）．
∴M₁P•M₂P=M₁M₂，
∴

M1P•M2P

M1M2

=1為定值．

點評：本題是難度很大的中考壓軸題，綜合考查了初中數(shù)學的諸多重要知識點：代數(shù)方面，考查了二次函數(shù)的相關性質、一次函數(shù)的相關性質、一元二次方程根與系數(shù)的關系以及二次根式的運算等；幾何方面，考查了兩點間的距離公式、軸對稱-最短路線問題等．本題解題技巧要求高，而且運算復雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求．