Question

用一段18米的鋼材制作一個(gè)上部為一段圓弧，下部是矩形的窗框，試問窗框的高、寬分別為多少米，該窗框的透光面積最大？（圓弧所對(duì)的圓心角始終為90°）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：如圖，先設(shè)寬度AD=x，可以求出頂部

AD

長，進(jìn)而可以表示出AB的值，然后求出面積（為下邊的矩形和頂部拱形面積之和），面積是x的二次函數(shù)（圖形是開口向下的拋物線），求出拋物線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值就是面積的最大值，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值就是所求的寬度．

解答：解：設(shè)AD=x，作OE⊥AD于E，
∴AE=DE=

1

2

x，
∵∠AOD=90°，
∴AE=OE=

1

2

x，
∴由勾股定理得：

AD

的半徑AO=

2

2

x≈0.707x，
∴

AD

=

90π× 2 2 x

180

=

2

4

πx≈1.111x，
∴AB=（18-x-

2

4

πx）÷2=9-

1

2

x-

2

8

πx≈9-1.056x
弓形的面積=π（

2

2

x）²-

( 2 2 x)2

2

=0.143x²
設(shè)該窗框的透光面積為y平方米，由題意，得
y=x（9-1.056x）+0.143x²=9x-0.913x²，
y=-0.913（x²-9.858x+4.929²）+22.181，
y=-0.913（x-4.929）²+22.181．
∴a=0.913＜0，
∴x=4.929m時(shí)，y_最大=22.181平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的面積的運(yùn)用，扇形的面積的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，弓形的面積的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，弧長公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．