【題目】菱形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點E,射線ON交邊DC于點F,連接EF.

(1)如圖1,當∠ABC=90°時,△OEF的形狀是  ;

(2)如圖2,當∠ABC=60°時,請判斷△OEF的形狀,并說明理由;

(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點移到AO的中點O′處,∠MO′N繞點O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點E,射線O′N交直線CD于點F,當BC=4,且=時,直接寫出線段CE的長.

【答案】(1)△OEF是等腰直角三角形(2)△OEF是等邊三角形(3)線段CE的長為3+3或3﹣3

【解析】試題分析:1)先求得四邊形ABCD是正方形,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠EBO=FCO=45°,OB=OC,再根據(jù)同角的余角相等可得∠BOE=COF,然后利用角邊角證明BOECOF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;(2)過O點作OGBCG,作OHCDH,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CA平分∠BCDABC+BCD=180°,求得OG=OHBCD=180°-60°=120°,從而求得∠GOH=EOF=60°,再根據(jù)等量減等量可得∠EOG=FOH,然后利用角邊角證明EOGFOH全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;(3)過O點作OGBCG,作OHCDH,先求得四邊形O′GCH是正方形,從而求得GC=O′G=3,GO′H=90°,然后利用角邊角證明EO′GFO′H全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證得O′EF是等腰直角三角形,根據(jù)已知求得等腰直角三角形的直角邊O′E的長,然后根據(jù)勾股定理求得EG,即可求得CE的長.

試題解析:1OEF是等腰直角三角形;

證明:∵菱形ABCD中,∠ABC=90°

∴四邊形ABCD是正方形,

OB=OC,BOC=90°BCD=90°,EBO=FCO=45°

∴∠BOE+COE=90°,

∵∠MON+BCD=180°,

∴∠MON=90°,

∴∠COF+COE=90°

∴∠BOE=COF,

BOECOF中,

,

∴△BOE≌△COFASA),

OE=OF,

∴△OEF是等腰直角三角形;

故答案為等腰直角三角形;

2OEF是等邊三角形;

證明:如圖,

O點作OGBCG,作OHCDH,

∴∠OGE=OGC=OHC=90°,

∵四邊形ABCD是菱形,

CA平分∠BCD,ABC+BCD=180°,

OG=OH,BCD=180°﹣60°=120°

∵∠GOH+OGC+BCD+OHC=360°,

∴∠GOH+BCD=180°,

∴∠MON+BCD=180°

∴∠GOH=EOF=60°,

∵∠GOH=GOF+FOH,EOF=GOF+EOG,

∴∠EOG=FOH

EOGFOH中,

,

∴△EOG≌△FOHASA),

OE=OF,

∴△OEF是等邊三角形;

3)證明:如圖

∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,

∴四邊形ABCD是正方形,

,

O點作O′GBCG,作O′HCDH

∴∠O′GC=O′HC=BCD=90°,

∴四邊形O′GCH是矩形,

O′GAB,O′HAD

AB=BC=CD=AD=4,

O′G=O′H=3,

∴四邊形O′GCH是正方形,

GC=O′G=3GO′H=90°

∵∠MO′N+BCD=180°,

∴∠EO′F=90°,

∴∠EO′F=GO′H=90°

∵∠GO′H=GO′F+FO′H,EO′F=GO′F+EO′G,

∴∠EO′G=FO′H

EO′GFO′H中,

∴△EO′G≌△FO′HASA),

O′E=O′F,

∴△O′EF是等腰直角三角形;

S正方形ABCD=4×4=16 ,

SO′EF=18,

SO′EF=O′E2,

O′E=6,

RTO′EG中,EG===3,

CE=CG+EG=3+3

根據(jù)對稱性可知,當∠M′ON′旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時,

CE′=E′GCG=33

綜上可得,線段CE的長為3+333

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進價(元/只)

售價(元/只)

甲型

25

30

乙型

45

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特別說明:毛利潤=售價﹣進價

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(3)現(xiàn)在朝陽燈飾商場購進甲型節(jié)能燈m只,銷售完節(jié)能燈時所獲的毛利潤為1080元.求m的值.

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