【題目】如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與y軸相交于點A(0,3),與x正半軸相交于點B,對稱軸是直線x=1.
(1)求此拋物線的解析式以及點B的坐標(biāo);
(2)動點M從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動,同時動點N從點O出發(fā),以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動,當(dāng)N點到達A點時,M,N同時停止運動.過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q,交拋物線于點P,設(shè)運動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,四邊形OMPN為矩形.
【答案】(1)y=-x2+2x+3,B點坐標(biāo)為(3,0).(2)t的值為1.
【解析】
(1)根據(jù)對稱軸求出b的值,把A點坐標(biāo)代入求出c的值即可;(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得ON=PM,列方程求出t的值即可.
(1)因為拋物線y=-x2+bx+c對稱軸是直線x=1,
所以-=1,
解得b=2.
因為拋物線過A(0,3),
所以c=3.
所以拋物線解析式為y=-x2+2x+3.
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3.
所以B點坐標(biāo)為(3,0).
(2)由題意可知ON=3t,OM=2t,
因為P在拋物線上,
所以P(2t,-4t2+4t+3).
因為四邊形OMPN為矩形,
所以ON=PM.
所以3t=-4t2+4t+3.
解得t1=1或t2=-(不合題意,舍去),
所以當(dāng)t的值為1時,四邊形OMPN為矩形.
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【題目】如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)連接EF,求證:AD垂直平分EF.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B,與y軸交于點C,且OA=1,OB=3,頂點為D,對稱軸交x軸于點Q.
(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式;
(2)點P是拋物線的對稱軸上一點,以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標(biāo);
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點M的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知,如圖,四邊形 ABCD,∠A=∠B=Rt∠.
(1)尺規(guī)作圖,在線段 AB上找一點 E,使得 EC=ED,連接 EC, ED(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)在圖形中,若∠ADE=∠BEC,且CE=3,BC=,求 AD的長.
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【題目】某廣告公司設(shè)計一幅周長為16米的矩形廣告牌,廣告設(shè)計費為每平方米2000元.設(shè)矩形一邊長為x,面積為S平方米.
(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)計費能達到24000元嗎?為什么?
(3)當(dāng)x是多少米時,設(shè)計費最多?最多是多少元?
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【題目】已知:如圖,在中,,點分別是直線上一個動點。
(1)若是等腰三角形,用直尺和圓規(guī)作出點(不寫作法,保留作圖痕跡),直接寫出的長;
(2)若,求的長。
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【題目】已知關(guān)于x的方程3x2-(a-3)x-a=0(a>0).
(1)求證:方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程有一個根大于2,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點在第一象限,且過點(0,1)和(﹣1,0),下列結(jié)論:①ab<0,②b2>4,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤當(dāng)x>﹣1時,y>0.其中正確結(jié)論是___________.
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