Question

【題目】已知：如圖，在中，，點(diǎn)分別是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）若是等腰三角形，用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；

（2）若，求的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，的長(zhǎng)分別是，4，1，9；（2）或7

【解析】

（1）分三種情況作出圖形，再求線段長(zhǎng)即可；

（2）先作出符合題意的圖形，再利用全等三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)即可.

解：（1）作圖如下：

①如圖，尺規(guī)作AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)C1，此時(shí)設(shè)OC1=x，則AC1=BC1=4－x，

在Rt△AOC1中，，解得x=，即OC1=；

②如圖，以A為圓心，AB為半徑作圓，交直線OB于點(diǎn)C2，此時(shí)AB=AC2，

又∵AO⊥OB，

∴OC2=OB=4；

③如圖，以B為圓心AB為半徑作圓，交直線OB于點(diǎn)C3，C4，

在RtAOB中，AB=，則此時(shí)BC3=BC4=AB=5，

∴OC3=BC3－OB=1，OC4=BC4+OB=9，

綜上所述，OC的長(zhǎng)為，4，1，9；

（2）①如圖：

∵△ABC≌△CDA，

∴，

∴，

∴，

∴；

②如圖：

∵△ABC≌△CDA，

∴，

∴，

∴，

∴，

綜上所述，AD的長(zhǎng)為1或7.