Question

點P在第一象限，坐標為（m，n）．
（1）點Q是點P關(guān)于直線y=x的軸對稱點，直接寫出Q點坐標（用m、n表示）；
（2）過Q作y軸平行線交直線y=x于A，若OQ²-AQ²=4，求經(jīng)過點Q的雙曲線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過O、P、Q三點的拋物線的對稱軸為x=

7

6

，求P點坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)Q是P的對稱點，作PC⊥y軸于點C，PD⊥x軸于點D，易證△POC≌△QOD，據(jù)此即可求解；
（2）設(shè)雙曲線為y=

k

x

，則Q（n，

k

n

），A（n，m）．則OQ和都可以利用n和k表示出來，根據(jù)OQ²-AQ²=4，即可列方程求解；
（3）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx，把P和Q坐標代入，然后利用對稱軸的公式，即可列方程組求解．

解答：解：（1）∵設(shè)Q是P的對稱點，則直線y=x垂直平分PQ，連接OP、OQ，則OP=OQ，且直線y=x平分∠POQ，又y=x平分∠xOy．
∴∠xOQ=∠yOP，
作PC⊥y軸于點C，PD⊥x軸于點D．
則△POC≌△QOD，
∴OD=OC=n，QD=PC=m，
故點Q的坐標是（n，m）；
（2）設(shè)雙曲線為y=

k

x

，則Q（n，

k

n

），A（n，m）．
∴AQ=n-

k

n

，
∴OQ²-AQ²=n²+（

k

n

）²-（n-

k

n

）²，
∴2k=4，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式是：y=

2

x

；
（3）∵拋物線經(jīng)過原點，
∴設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx，
則

2 m =m2a+mb m=( 2 m )2+( 2 m )b

，
得：

a=- m2+2 2m b= 2 m2 + m2+2 2

，
又∵-

b

2a

=

7

6

，
∴

2 m2 + m2+2 2

2(- m2+2 2m )

=

2 m2 + m2+2 2

m2+2 m

=

7

6

，
即

1 2 (m+ 2 m )2-1

m+ 2 m

=

7

6

，
3（m+

2

m

）²-7（m+

2

m

）-6=0，
則m+

2

m

=3…1）或m+

2

m

=-

2

3

…2），
解1）得：m=1或2，方程2）無解．
故P的坐標是（1，2）或（2，1）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確解方程組是關(guān)鍵．