【題目】通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的。下面是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整。

原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由。

(1)思路梳理

AB=CD,

ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG,可使AB與AD重合。

∵∠ADC=B=90°,

∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線。

根據(jù)    ,易證AFG    ,得EF=BE+DF。

(2)類比引申

如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,EAF=45°。若B、D都不是直角,則當(dāng)B與D滿足等量關(guān)系    時(shí),仍有EF=BE+DF。

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過(guò)程。

【答案】解:(1)SAS;AFE

(2)B+D=180°。

(3)BD2+EC2=DE2。理由見解析

【解析】

試題(1)AFG和AEF中,∴△AFG≌△AEF(SAS)。

(2)如圖,把ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG,可使AB與AD重合,連接FG,

同(1)AEF≌△AGF(SAS)得EF=GF;

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得BE=DG,B=ADG,

EF=BE+DF,則GF=DG+DF。

點(diǎn)F、D、G共線。∴∠ADF+ADG180°,即B+D=180°。

(3)根把ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ACG,可使AB與AC重合,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和勾股定理,可得到BD2+EC2=DE2

BD2+EC2=DE2。推理過(guò)程如下:

AB=AC,

ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ACG,可使AB與AC重合(如圖)。

∵△ABC中,BAC=90°,

∴∠ACB+ACG=ACB+B=90°,即ECG=90°。

EC2+CG2=EG2。

AEG與AED中,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),CAG=BAD。

∴∠EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90°-EAD=45°=EAD。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),AD=AG,AE=AE,

∴△AEG≌△AED(SAS)。DE=EG。

CG=BD,BD2+EC2=DE2。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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九年級(jí)接受調(diào)查的同學(xué)共有多少名,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

九年級(jí)共有500名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)聽音樂(lè)減壓的學(xué)生有多少名;

若喜歡交流談心5名同學(xué)中有三名男生和兩名女生,心理老師想從5名同學(xué)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交流,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求同時(shí)選出的兩名同學(xué)都是女生的概率.

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2)扇形圖中m= ,n= ;

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(參考數(shù)據(jù):,,,,

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