Question

如圖，已知O是菱形ABCD對角線BD上的一點，以O為圓心，OD為半徑的⊙O與AB相切于E點，與AB、CD分別相交于F、G點．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若∠A=60°，AB=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,菱形的性質

專題：

分析：（1）利用菱形的性質得出∠ABD=∠CBD，再利用切線的性質得出，∠OEB=90°，進而利用角平分線的性質求出即可；
（2）利用等邊三角形的判定以及銳角三角函數(shù)關系求出EO的長即可．

解答：（1）證明：連接EO，作ON⊥BC于點N，
∵O是菱形ABCD對角線BD上的一點，以O為圓心，OD為半徑的⊙O與AB相切于E點，
∴∠ABD=∠CBD，∠OEB=90°，
∴OE=ON（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
∴BC與⊙O相切；

（2）解：∵∠A=60°，AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD=2，∠ABD=60°，
∴設EO=x，則BO=2-x，
∴sin60°=

EO

BO

=

x

2-x

=

3

2

，
解得：x=4

3

-6，
即⊙O的半徑為：4

3

-6．

點評：此題主要考查了菱形的性質以及切線的判定以及等邊三角形判定等知識，正確利用菱形的性質求出是解題關鍵．