Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，P是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，E為AD上的點(diǎn)，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求證：四邊形PMAN是正方形；
（2）求證：EM=BN．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，

∵PM⊥AD，PN⊥AB，

∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，

∴四邊形PMAN是矩形，

∵PM=PN，

∴四邊形PMAN是正方形

（2）證明：∵四邊形PMAN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵∠EPB=90°，

∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，

∴∠MPE=∠NPB，

在△EPM和△BPN中，

，

∴△EPM≌△BPN（ASA），

∴EM=BN．

【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可證得四邊形PMAN是正方形；（2）由四邊形PMAN是正方形，易證得△EPM≌△BPN，即可證得：EM=BN．