Question

如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y₁=

2

x

（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交另一個(gè)反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）的圖象于B點(diǎn)．若不論點(diǎn)A在何處，反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）圖象上總存在一點(diǎn)D，使得四邊形AOBD為平行四邊形，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：假設(shè)y₂=

k

x

上有一點(diǎn)D，使四邊形AOBD為平行四邊形，過(guò)D作DE⊥AB，過(guò)A作AC⊥x軸，由四邊形AOBD為平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，利用AAS得到三角形AOC與三角形DBE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=OC，DE=AC，設(shè)A（a，

2

a

）（a＞0），即OC=a，AC=

2

a

，得出D與B縱坐標(biāo)，進(jìn)而表示出D與B橫坐標(biāo)，兩橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值即為BE的長(zhǎng)，利用等式，即可求出k的值．

解答：解：假設(shè)y₂=

k

x

上有一點(diǎn)D，使四邊形AOBD為平行四邊形，
過(guò)D作DE⊥AB，過(guò)A作AC⊥x軸，
∵四邊形AOBD為平行四邊形，
∴BD=OA，BD∥OA，
∴∠DBA=∠OAB=∠AOC，
在△AOC和△DBE中，

∠DBE=∠AOC ∠DEB=∠ACO=90° DB=AO

，
∴△AOC≌△DBE（AAS），
設(shè)A（a，

2

a

）（a＞0），即OC=a，AC=

2

a

，
∴BE=OC=a，DE=AC=

2

a

，
∴D縱坐標(biāo)為

4

a

，B縱坐標(biāo)為

2

a

，
∴D橫坐標(biāo)為

ak

4

，B橫坐標(biāo)為

ak

2

，
∴BE=|

ak

4

-

ak

2

|=a，即-

ak

4

=a，
∴k=-4．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．